04.Sistemi Discreti

Sistemi Discreti

Trasformata Zeta

Nel contesto della trasformata Zeta, la variabile complessa $z$ ha il significato operatoriale di anticipo di un passo. $V(z)=Z[v(k)]:={\sum }_{k=0}^{\infty }v(k)z^{-k}$ La trasformata Z è un operatore lineare. La proprietà più importante è quella del ‘ritardo unitario’: $Z[v(k+1)]=z\ast Z[v(k)]-zv(0)$ Può capitare negli esercizi in cui si fanno antitrasformate di Z ci sono ritardi anche di -2 -3 ecc. ecc. e per evitare di rendere i calcoli lunghi la consegna esplicita ‘condizioni iniziali nulle’ per eliminare il termine z*v(0)

Lista Trasformate di Zeta note:

• $Z[imp(k)]=1$
• $Z[sca(k)]=\frac{z}{z-1}$

Schema di Controllo

$R^{\ast }(z)=\frac{U(z)}{E(z)}$

Discretizzazione per realizzazione digitale di SD a TC

Si tratta di sostituire una formuletta già fatta con il $T_s$ ricavato dalle formule di campionamento.

Discretizzazione esatta

Idea: far evolvere il sistema a TC per un tempo pari a $T_s$. Cioè implica che se R(s) è AS lo è anche R(z).

Discretizzazione approssimata

é pesante da calcolare la discretizzazione esatta. Idea: approssimare la derivata temporale con il rapporto incrementale lungo un passo di campionamento $T_s$

Metodo di Eulero Esplicito (differenze in avanti)

é un metodo di discretizzazione approssimata che può generare un SD a TD instabile partendo da un SD a TC che è AS. $s=\frac{z-1}{T_s}$

Metodo di Eulero Implicito (differenze all’indietro)

$s=\frac{z-1}{T_{s}z}$

Metodo di Tustin

$s=\frac{2(z-1)}{T_s(z+1)}$

windup = anomala sovraelongazione di un regolatore dinamico, non necessariamente integrale. Vincoli lo stato del regolatore quando si raggiunge la saturazione. Nota: con qualsiasi tipo di discretizzazione posso verificare la correttezza dei miei calcoli osservando che se R(s) ha un polo in 0 allora R(z) avrà un polo in 1. e il campionamento $T_s$ ? come lo si decide?

Campionamento $T_s$

Il campionamento $T_s$ deve rispettare alcuni vincoli. $w_s=\frac{2\pi }{T_s}$

• vincolo proporzionale alla ${\omega }_c$, es: ‘la ws deve essere almeno 20 volte la wc’
• vincolo sul modulo ,dal teorema del campionamento di Nyquist. $2{\omega }_n$** = ${\omega }_s$** è la massima pulsazione rappresentabile senza aliasing con un campionamento a frequenza ${\omega }_s$ . Più $|L(j{\omega }_n|$ è piccolo, meno aliasing. In pratica avrò una condizione sul modulo. Se ad esempio è -20dB cerco dove $|L|$ a tale modulo e trovo la ${\omega }_n$ . Il doppio sarà la minima ${\omega }_s$ .
• vincolo Sample and Holding: $\frac{3}{2}{w}_c{T}_s$ $\leftarrow$ ($gradidettidaltesto$(\frac{\pi}{180})$considerandoi{l}_{r}itardodovutoalcalcol{o}_{.}$\frac{1}{2}w_cT_s\leftarrow$($ gradi detti dal testo $(\frac{\pi }{180})$ non considerando il ritardo.

Tutti i vincoli sono dal basso di ${\omega }_s$ . Quindi tecnicamente potrei prendere una ${\omega }_s$ altissima o equivalentemente una $T_s$ bassissima.. ma nella realtà non è ottimo abbassare il tempo di campionamento $\to$ maggiore calcolo computazionale $\to$ mi serve una macchina più precisa.

Legge di controllo LTI a TD

Possono capitare esercizi di questo genere… sono molto semplici. $G(z)=\frac{Y(z)}{U(z)}$ , risolvi l’equazione e antitrasformi, scali Y(z+1) a Y(z) e così via, in modo da esplicitare tutto a Y(z) e valori ‘passati’, non futuri. Eventualmente se consegna lo chiede, sostituisci $u(k)$.