04.Dinamica

Dinamica

Due tipi di dinamica:

• diretta: sono note le forze attive e si determina il moto del sistema.
• inversa: è noto il moto del sistema e si determinano le forze necessarie a mantenere tale moto.

Diversi tipi di approcci alla dinamica:

• approccio dinamico:
  • Principio d’Alembert
• approcci energetici:
  • Principio dei Lavori Virtuali $\leftarrow$ non considerato in questo corso
  • Bilancio delle Potenze
  • Teorema dell’Energia Cinetica
  • Equazioni di Lagrange $\leftarrow$ non considerate in questo corso

Equazioni della dinamica d’Alémbert

$\{\begin{array}{l}\sum F_a+F_r+F_{in}=0\\ \sum M+C+M_{in}+C_{in}=0\end{array}$ In cui le forze d’inerzia (e quindi di conseguenza le coppie di forze d’inerzia e i momenti d’inerzia) sono forze fittizie la cui introduzione ha scopo di giustificare a mo’ di spaghettata ‘la forza insita nel corpo che si oppone al movimento o si oppone in caso di moto giá presente al rallentamento di esso’. Intuitivamente il momento d’inerzia é quel momento fittizio che si oppone al cambiamento dello stato di rotazione del corpo. La forza d’inerzia é quindi descritta come $F_{in}=-Ma$ In caso di corpo con dimensioni non trascurabili la risultante di tutte le forze d’inerzia prodotte sul corpo é $F_{in}=-M{a}_g$

Wikihow sul principio d’Alèmbert:

1. analisi cinematica del corpo aka trovare l’accellerazione angolare del corpo e del baricentro: mainly using Rivals per le velocità e per le accelerazioni.
2. principio d’Alembert + forze d’inerzia (e coppia)

Bilancio delle potenze

Definiamo la potenza di una forza: $W_f=\vec{F}\cdot \vec{v}=F\cdot v\cos (\theta )[W][\frac{J}{s}]$

Definiamo la potenza di una coppia: $W_f=\vec{C}\cdot \vec{\omega }[W][\frac{J}{s}]$

$\sum W_{attive}+W_{inerzia}=0$ Non mettiamo le forze reattive poiché le velocità nei vincoli sono nulle: i vincoli non presentano cedimenti né attriti né giochi.

Teorema dell’Energia Cinetica

Definiamo l’energia cinetica di un punto materiale: $E_c=\frac{1}{2}m\overrightarrow{v_G}\overrightarrow{v_G}+\frac{1}{2}\overrightarrow{J_G}\vec{\omega }\vec{\omega }$

Teo. $E_c$ : $\sum W_{attive}=\frac{d{E}_c}{dt}$

Nota: solo potenze di forze/coppie attive! NO potenze di forze d’inerzia, NO potenze di forze reattive

$\frac{E_c}{dt}=\frac{1}{2}m\overrightarrow{v_G}\overrightarrow{a_{Gtan}}+\frac{1}{2}{J}_G\vec{\omega }\vec{\omega }$

Approcci energetici con attrito

A patto di inserire nel computo delle potenze le coppie e forze d’attrito il $BdP$ lo posso usare (così come il Teo $E_c$). Teo $E_c$ nella sua versione piú generale : $\sum W_{attive}+\sum W_{attrito}=\frac{d{E}_c}{dt}$

BdP e Teorema della $E_c$ sono la stessa cosa

$\frac{E_c}{dt}=\frac{1}{2}m\overrightarrow{v_G}\overrightarrow{a_{Gtan}}+\frac{1}{2}{J}_G\vec{\omega }\vec{\omega }$ $\frac{E_c}{dt}=\frac{1}{2}(2m\overrightarrow{v_G}\overrightarrow{a_{Gtan}}+2J_G\vec{\dot{\omega }}\vec{\omega })$ $\frac{E_c}{dt}=m\overrightarrow{a_{Gt}}\overrightarrow{v_G}+J_G\vec{\dot{\omega }}\vec{\omega }$ Dove $m\overrightarrow{a_{Gt}}$ è $-F_{in}$ e $J_G\vec{\dot{\omega }}$ è $-\overrightarrow{C_{in}}$.

Dunque il Teo. della $E_c$ sta proprio scrivendo: $\sum W_{attive}=-\sum W_{inerzia}$

Esercizio di dinamica

L’esercizio d’esame sulla dinamica si risolve quasi sempre in questo modo:

0. Immaginarsi come il sistema si muova.
1. Identificare un’equazione di chiusura.
2. Trascrivere l’equazione di chiusura in forma complessa, rappresentante lo spostamento.
3. Individuare le incognite risolvendo (separando cioè nelle componenti cartesiane la forma complessa della equazione di chiusura).
4. Derivare la forma complessa ottenendo quindi la chiusura per la velocità.
5. Separare nelle componenti cartesiane l’equazione di chiusura della velocità ed ottenere i termini incogniti (spesso utilizzando i termini incogniti trovati nel punto (3))
6. Derivare una seconda volta la forma complessa, ottenendo quindi l’equazione di chiusura dell’accelerazione.
7. Separare nelle componenti cartesiane l’equazione di chiusura della accellerazione ed ottenere i termini incogniti (spesso utilizzando i termini incogniti trovati nel punto (3) e punto (5))
8. Calcolare potenza totale, sommando i contributi di tutte le forze e coppie applicate a corpi in moto. Per calcolare le potenze servono le velocità trovate nei punti precedenti. Se nei punti precedenti non abbiamo trovato le velocità baricentriche quasi sempre si usa rivals o si effettua qualche deduzione per trovare le incognite d’interesse senza troppi conti.
9. Si calcola l’energia cinetica totale (ricordati le forze/coppie d’inerzia di tutti i corpi con massa). Nel caso di corpo con un perno corrispondente con il baricentro, calcolerai soltanto la componente rotazionale cinetica $\frac{1}{2}J{\omega }^2$. In caso contrario, cioè quando il baricentro dell’asta non sia nel punto in cui c’è il perno, dovrai calcolare anche la componente traslatoria dell’energia cinetica $\frac{1}{2}m{v}^2$ .
10. Si deriva l’energia cinetica.
11. Si usa il bilancio delle potenze, cioè si costruisce una equazione in cui spesso l’unica incognita è quella richiesta dall’esercizio.
12. Nel punto (11) spesso l’equazione è molto complessa e ricca di termini ma don’t panic… si controlla che ogni somma sarà tra stesse grandezze e quindi tra stessi termini con stessa unità di misura.

Dinamica puro rotolamento

Il punto di contatto tra il disco e il piano è il centro di istantanea rotazione $CIR$, cioè dove la velocità istantanea è nulla (ma non l’accelerazione!). A livello di accelerazione avremo una componente tangenziale e una normale, ma non quella di Coriolis ‘essendo il raggio costante’. L’accelerazione tangenziale così come la velocità tangenziale sarà nulla nel CIR mentre l’accelerazione normale sarà $\ne 0$ !