03. Medie e varianze notevoli

Medie e varianze notevoli

Variabile Aleatoria Uniforme su $\alpha$ e $\beta$

$\mathbb{E}[x]=\frac{\alpha +\beta }{2}$ $Var[x]=\frac{(\beta -\alpha {)}^2}{12}$

Variabile Aleatoria Gaussiana

$\mathbb{E}[x]=\mu$ $Var[x]={\sigma }^2$

Variabile Aleatoria Esponenziale

$\mathbb{E}[X]=\frac{1}{\lambda }$ $var[x]=\frac{1}{{\lambda }^2}$

Variabile Aleatoria Binomiale

$\mathbb{E}[X]=np$ $var[x]=np(1-p)$

Variabile Aleatoria Poissoniana

$\mathbb{E}[X]=\lambda$ $var[x]=\lambda$

Variabile Aleatoria Geometrica

$\frac{1}{p}$ $\frac{(1-p)}{p^2}$

In alcune situazioni può succedere di avere a disposizione il valore atteso e/o la varianza di una var. ale. , ma di non averne la funzione di probabilità. Le disuguaglianze di Markov e Chebychev fanno comodo in queste situazioni, perchè ci permettono di ‘stimare’ / ’ maggiorare’ p(x) .

Disuguaglianza di Markov

$P(X>c)\le \frac{\mathbb{E}[x]}{c}$

Disuguaglianza di Chebychev

$P(|X-\mathbb{E}[X]|>r)\le \frac{var[x]}{r^2}$