05. Distribuzioni in Statistica

Distribuzioni in Statistica

Principali distribuzioni utilizzate in statistica:

Gamma

$\Gamma (\alpha ,\lambda ):=\frac{{\lambda }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\lambda x}{\mathbb{I}}_{(0,+\infty )}(x)$ dove $\Gamma$ è la Gamma di Eulero. La distribuzione Gamma è utilizzata per modellare il tempo di attesa di un certo numero di eventi rari.

Chi quadrato

$X^2(n):=Z_1^2+...+Z_n^2$ con $Z_i\sim N(0,1)$ Inoltre $X^2(n)$ può essere scritto come $\Gamma (n/2,1/2)$ . Chi quadrato viene utilizzata per il test di ipotesi sulle varianze.

T di student

La distribuzione T di Student viene utilizzata per il test di ipotesi sulla media di una popolazione quando la deviazione standard della popolazione non è nota.

Con $Z\sim N(0,1)$ e $X_n^2=X^2(n)$ è: $T_n:=\frac{Z}{\sqrt{\frac{X_n^2}{n}}}$ $\frac{\bar{X}-u}{\frac{S_n}{\sqrt{n}}}\sim t(n-1)$ Belle storielle fantasy del perchè si chiama ‘..di student’

F di fisher

La distribuzione F di Fisher viene utilizzata per il test di ipotesi sulla differenza tra le varianze di due popolazioni.$F_{n,m}:=\frac{X_n^2/n}{X_m^2/m}$

Somma di variabili Gamma indipendenti

Se $X_1\sim \Gamma [{\alpha }_1,\lambda ]$ e $X_2\sim \Gamma [{\alpha }_1,\lambda ]$ v.a. indipendenti. Allora $X_1+X_2\sim \Gamma ({\alpha }_1+{\alpha }_2,\lambda )$

Somma di Chi Quadrato

Se $X_1=X^2(n)$ e $X_2=X^2(m)$ e sono indipendenti allora $X_1+X_2=X^2(n+m)$

Quantili della F di Fisher

$f_{1-\alpha ,m,n}=\frac{1}{f_{\alpha ,n,m}}$ Questa formula è importante, ad esempio, nella costruzione di intervalli di confidenza per la varianza di due popolazioni normali.